Abstract
Indaghiamo una classe di modelli relativi al modello Bak-Sneppen (BS), inizialmente proposto per studiare l'evoluzione. In questo modello, le fitness casuali in [0, 1] sono associate a N agenti situati ai vertici di un grafo G, nel nostro caso un ciclo. La loro forma fisica è classificata dal peggiore (0) al migliore (1). Ad ogni passo temporale l'agente con la fitness più bassa ei suoi vicini sul grafico G vengono sostituiti da nuovi agenti con fitness casuali. Questo semplice modello dopo oltre 30 anni sfida ancora la soluzione esatta, ma cattura alcune forme di comportamento complesso osservato nei sistemi fisici e biologici.
Utilizziamo le statistiche d'ordine per definire un sistema dinamico sull'insieme delle funzioni di distribuzione cumulative R : [0,1] → [0,1 che imita l'evoluzione della distribuzione delle fitness in questi modelli. Mostriamo quindi che questo sistema dinamico si riduce a una mappa polinomiale unidimensionale. Utilizzando un'ulteriore congettura possiamo quindi trovare la distribuzione limite in funzione delle condizioni iniziali.
In parole povere, questo ansatz afferma che la maggior parte delle sostituzioni nel modello Bak-Sneppen si verifica in una frazione decrescente della popolazione poiché il numero N di agenti tende all'infinito. L'accordo con i risultati sperimentali del modello BS è eccellente.