Modelli epidemiologici semplici

Il modello Susceptible-Infected-Recovered

Il modello SIR 

Da decenni in epidemiologia si utilizzano modelli di equazioni differenziali per descrivere il diffondersi di una patologia basata sul contatto umano (es. influenza, morbillo) come nel caso COVID-19. Esistono modelli con vari livelli di complessitá, ma anche i modelli piú semplici di cui daremo una sommaria descrizione possono essere utili a descrivere a grandi linee il comportamento della dinamica epidemica, o per caratterizzarne solo alcune specifiche fasi.

Il modello piú semplice adatto a descrivere la attuale situazione considera la popolazione divisa in 3 gruppi: Suscettibili (S, cioé le persone sane che possono infettarsi), infetti (I, coloro che hanno la patologia), Recuperati (R, da “recovered”, che corrisponde ai guariti o ai deceduti, che non possono piú essere infettati). Il modello si basa sulle “leggi di azioni di massa”  utilizzate per descrivere la cinetica delle reazioni chimiche (nel nostro caso descrive le variazioni delle nostre quantità S(t), I(t), R(t)).

Supponendo la popolazione costante durante tutto il processo abbiamo:

S(t) + I(t) + R(t) = N

E le equazioni dinamiche si scrivono cosí:

Lo schema mostra i “compartimenti” che contengono i vari gruppi in cui è divisa la popolazione, e le frecce rappresentano i “flussi” di popolazione da un gruppo all’altro: un sano (S) può solo diventare infetto (I) e poi recuperato (R). La prima equazione ad esempio dice che il numero di sani diminuirà nel tempo (segno negativo dell’equazione) in proporzione (prodotto delle costanti r e β ) al numero di sani S che entra in contatto con gli infetti I in proporzione alla loro percentuale sull’intera popolazione (termine S x I/N).

Tipicamente come condizioni iniziali del sistema si considerano

  1. una popolazione sostanzialmente sana quasi al 100% (S circa uguale a N);
  2. pochi infetti (I molto piccolo);
  3. nessun recuperato (R = 0).

Dopo un tempo sufficientemente lungo, visti i flussi tra le popolazioni, tutta la popolazione iniziale diventa recuperata (R = N), ma si possono avere differenti dinamiche nella fase intermedia, che dipendono da quanto velocemente l’epidemia si propaga:

  • “esplosione” di casi infetti in breve tempo (una curva con un picco molto alto di infetti tutti nello stesso lasso di tempo);
  • una dinamica piú “diluita” (che dura un tempo piú lungo rispetto al caso precedente) in cui la percentuale di infetti sul totale della popolazione rimane piú bassa.

Da cosa dipende il trovarsi in una delle due situazione? Dipende dai parametri del sistema (r, β e ɣ): r rappresenta il numero tipico di contatti che ogni persona ha con il resto della popolazione,  β rappresenta la probabilità di diventare infetti in seguito ad un contatto tra sano e infetto, ɣ  rappresenta il tasso di recovery, cioè la velocità con cui si passa da S a R. Il parametro β  é intrinseco della patologia (rappresenta l’infettività della malattia), mentre il valore di r dipende dal numero di interazioni sociali: da qui l’intervento per ridurre l’espandersi della malattia agendo sull’unico parametro del sistema regolabile con interventi umani (il “lockdown”).

I parametri descritti vengono tipicamente “riassunti” in un unico parametro: il coefficiente riproduttivo R0 che descrive il numero medio di infezioni che un singolo infetto puó provocare sulla popolazione di suscettibili:

rappresenta un bilancio tra il flusso di nuovi infetti immessi nel sistema (numeratore) e il flusso di infetti che diventano recuperati (il denominatore). Matematicamente parlando, più questo coefficiente ha un valore alto (>1) e più velocemente si diffonderà l’epidemia, creando una situazione con un elevato numero di infetti presenti contemporaneamente nel sistema. Siccome una percentuale di infetti va incontro a gravi complicanze che richiedono interventi ospedalieri, una crescita incontrollata di infetti può portare al collasso delle strutture sanitarie (dotate di un numero finito di posti per questi malati).

Il cosiddetto “effetto gregge” si manifesta quando una grossa parte della popolazione è nel gruppo R, per cui un infetto avrà sempre minori possibilità di incontrare un suscettibile, e quindi la sua capacità di propagare l’epidemia sarà automaticamente ridotta dalle proprietà della popolazione, e diventerà a sua volta recuperato senza avere trasmesso la malattia (cioè diventerà R senza avere generato nuovi I).

 

Evoluzione nel tempo del numero di infetti I(t) per differenti valori di R₀

Più il valore tende a 1 e più basso è il picco di infetti (rappresentato in percentuale rispetto al totale della popolazione) e più lunga è la durata della fase con infetti presenti nel sistema.

Esempi di dinamica

Analisi della pandemia

Una semplice analisi della fase iniziale della pandemia (crescita dei casi infetti) mostra una diminuzione della crescita dei casi che va dal 33% al 50% nel periodo post-lockdown (successivo al 9 marzo) rispetto al periodo precedente

European Centre for Disease Prevention and Control

https://www.ecdc.europa.eu/en/covid-19-pandemic

Modello SIR e R: una analogia idraulica

Partendo dal modello SIR a compartimenti descritto precedentemente, possiamo immaginare un esempio reale in cui si applicano le stesse equazioni, che aiuta ad avere una intuizione del modello, e in particolare del significato del coefficiente R0.

Immaginiamo la popolazione N come una quantitá di liquido, che si distribuisce in 3 contenitori, che corrispondono alle classi S, I, R. Il modello SIR descrive un liquido che parte inizialmente dal contenitore S in alto (inizialmente tutti sani), fluicee nel compartimento I (infetti) e poi defluisce nel compartimento R (recuperati), come succederebbe se i 3 contenitori fossero posizionati come nella figura sotto, e il fluido scorresse per azione della forza di gravitá. Non ci sono altri flussi possibili nel sistema (per esempio, il fluido non puó passare dal contenitore R a quelli I o S).

Il flusso da S a I puó avere varie velocitá (come se fosse regolato da un rubinetto, vedi figura) che dipendono nel modello SIR dai parametri r e b (che sono al numeratore nella frazione che descrive il parametro R0). Ad esempio, abbiamo detto che ridurre il numero di contatti tra persone influisce direttamente sul parametro r riducendolo, che corrisponderebbe a ridurre il flusso dal rubinetto. Allo stesso tempo, il liquido fluisce dal contenitore I al contenitore R: qui non possiamo agire sull’entitá di questo flusso (corrispondente al parametro g al denominatore di R0, l’inverso del tempo in cui una persona rimane infetta), e questo svuotamento “passivo” del contenitore I é rappresentato in figura dal tubo di scarico del contenitore nel mezzo.

L’interpretazione di R0 é la seguente: se l’influsso dal recipiente S ad I é maggiore dell’efflusso da I a R (R0>1) l’acqua che entra nel lavandino é maggiore di quella che viene scaricata, per cui ci troveremo con un contenitore I molto pieno (alta percentuale di infetti contemporaneamente presenti nel sistema, figura a sinistra) mentre se l’influsso é minore rispetto all’efflusso (R0<1) il contenitore I rimarrá sostanzialmente vuoto (figura a destra). Un lavandino I non troppo pieno permette un controllo delle criticitá del sistema (es. disponibilitá di posti in terapia intensiva per il caso reale), che appare chiaramente come un sistema dinamico che puó variare nel tempo.

É possibile sperimentare personalmente questo fenomeno “giocando” con un lavandino in casa: tipicamente lo scarico del lavandino permette all’acqua di effluire e non accumularsi, ma se riduciamo la sua dimensione (ad esempio chiudendo parzialmente lo scarico con nastro adesivo o appoggiando il tappo in modo non ermetico) osserveremo vari regimi agendo sul getto d’acqua proveniente dal rubinetto.